Vivimos en un mundo donde las interrelaciones económicas son cada vez mayores. Esto se llama "globalización". Por otra parte el mundo económico presenta una creciente inestabilidad, a nuestro entender en gran parte por la inestabilidad en el sistema cambiario. Para llegar a reducir los riesgos que entraña la gestión de las empresas en ese mundo se han ideado una serie de herramientas.

Gary Stix, uno de los editores de "Scientific American" publicó en ese medio en 1998 un artículo titulado "Un cálculo del riesgo" donde se da una visión general de aquellas herramientas. En él analiza la aplicación cada vez mayor de la ingeniería financiera en una serie de ámbitos, como el riesgo climático y otros. "La ingeniería de útiles financieros ha nacido en respuesta a las turbulencias de los últimos decenios en unos mercados mundiales cada vez más interconectados: un resultado de la flotación de los tipos de cambio, de crisis petrolíferas, de convulsiones en los tipos de interés y desplomes de los mercados de valores. Continúa el lanzamiento al mercado de productos financieros originales e imaginativos con modos de caución y derivados cada vez más complejos: opciones de compra, contratos de futuros y otros productos originados en un bien subyacente, en un índice financiero, en un tipo de cambio entre divisas o de un tipo de interés. Derivados nuevos contribuirán a los servicios de suministro eléctrico a protegerse contra vaivenes de los precios y de la capacidad en mercados liberalizados. Derivados crediticios permitirán a los bancos trasladar a terceros el riesgo de morosidad en los créditos".

De todas maneras, al no ser las relaciones económicas tan estables como las relaciones de la física (según Ludwig von Mises en la economía no hay constantes), esas herramientas tienen un alto margen de relatividad.

"La creación de instrumentos financieros complicados exige una metodología para la determinación precisa de los precios correspondientes a los derivados que forman sus partes constitutivas. Es relativamente fácil establecer el precio de un contrato de futuros. Cuando se eleva el costo del trigo, el precio de contrato de futuros sobre este bien se incrementa en la misma proporción. La relación entre ambos es, pues, lineal. En el caso de las opciones, no existe una correlación tan sencilla entre el producto derivado y el bien subyacente".

La solución a esa correlación entre producto derivado y bien subyacente en las opciones llevó su tiempo y finalmente se coronó con el trabajo de Myron S. Scholes, Fisher Black y Robert C. Merton. El primero y el último recibieron, por este motivo, el Premio Nobel de Economía 1997. Black falleció hace algunos años.

Desde comienzos de este siglo se trató de solucionar el problema de la correcta evaluación de las opciones. En 1900 Louis Bachelier escribió un ensayo titulado "La teoría de la especulación". En él describe un procedimiento para poner precio a las opciones. "Uno de los componentes de la fórmula que concibió a tal propósito fue precursor de un modelo que Einstein habría de utilizar en su descripción del movimiento browniano, el movimiento aleatorio de partículas diminutas en el seno de un fluido". La fórmula de Bachelier tenía supuestos que no se podían aceptar en el mundo financiero como, por ejemplo, la existencia de cotizaciones negativas para los valores bursátiles. Años después, hacia 1970, el economista Paul Samuelson fue otros de los que trataron de resolver este problema. Buscó determinar el valor de una opción a través del difícil cálculo de una bonificación por riesgo: un descuento en el precio de la opción que compensara la aversión del inversor a los riesgos y la insegura y móvil cotización del valor en el mercado.

Black, Scholes y Merton partieron de un camino distinto. La bonificación por riesgo ya se encuentra metida en la cotización del valor de la opción. "El mercado se encarga de que la cotización actual de los valores de mayor riesgo descienda con respecto a su valor futuro esperado y lo haga más acusadamente que las inversiones estables; esa diferencia es el descuento asociado al riesgo inherente".

Sigue diciendo Stix: "Black y Scholes, con la ayuda de Merton, idearon su fórmula para determinar los precios de las opciones construyendo una cartera hipotética en la cual cada variación en la cotización de una acción se compensaba con un desplazamiento en el valor de las opciones sobre esa acción: la estrategia de neutralización. Demos un ejemplo. Sea una opción que confiera a su poseedor el derecho a vender ciertas acciones en el plazo de tres meses de ser cotizadas a 100 dólares o menos. El valor de la opción podría aumentar 50 centavos cuando la acción bajase 1 dólar (pues la condición en que la opción podría ser utilizada se ha tornado más verosímil) y disminuir 50 centavos cuando la acción subiese 1 dólar".

"Para protegerse de las variaciones de cotización de las acciones, el inversor podría comprar dos opciones por cada acción que poseyera; en tal caso, la ganancia en las opciones compensaría la pérdida en el valor. La neutralización crea una cartera sin riesgo, una cartera cuyo retorno es el mismo que los bonos del tesoro. Dado que la cotización de las acciones varía con el tiempo, el inversor tiene que ir modificando la composición de esa cartera -la ratio del número de acciones de los distintos valores al número de opciones- para asegurarse de que su cartera de valores sigue sin riesgo".

La fórmula de Black-Scholes resulta de una ecuación diferencial en derivadas parciales que pone de manifiesto que el precio justo de una opción sería el que produjera un retorno sin riesgo dentro de esa cartera neutralizada.

El artículo original que presentó la fórmula de Black-Sholes se publicó en el "Journal of Political Economy" en 1973. La fórmula tiene como variables las siguientes: precio de la acción, precio de ejercicio, tiempo que resta hasta la expiración del contrato, tasa corriente de interés y volatilidad medida por la desviación estándar anual. La mayor parte de esas variables eran fáciles de obtener y se podían introducir en la fórmula. De esas variables la única que no se podía obtener directamente era la correspondiente a la "volatilidad del mercado", esto es, la desviación estándar de las cotizaciones de los valores respecto a sus valores medios. "Este número, sin embargo, podía estimarse a partir de los altibajos de las cotizaciones históricas. Análogamente, si el precio actual de la opción era conocido en los mercados, el agente podría introducir tal número en un ordenador y deducir un índice de volatilidad, útil para juzgar si una opción estaba sobrevalorada o infravalorada con respecto a la cotización actual del valor en el mercado".

En los últimos años un sinnúmero de especialistas en otras disciplinas, además de la economía, especialmente físicos aterrizaron en Wall Street. "Aunque quepan en una calculadora de bolsillo, las matemáticas implícitas en la ecuación de Black-Scholes consisten en cálculos estocásticos, descendientes de la obra de Bachelier y Einstein. Estas ecuaciones no constituían en absoluto el proceder habitual de los programas de administración de empresas. Físicos, matemáticos, informáticos y económetras desempeñan ahora un importante papel en los colosos financieros de Wall Street".

La fómula original de Black-Scholes partía de supuestos poco realistas sobre el modus operandi de los mercados. Tomaba como dato un tipo de interés fijo, pero todos sabemos que los tipos varían lo cual influye en el valor de la opción, especialmente en las opciones de bonos. "La fórmula también presume que las variaciones de la tasa de crecimiento de las cotizaciones bursátiles obedecen a una distribución estadística normal, a una curva acampanada en la que los acontecimientos se agrupan en torno a la media. Resulta por ello incapaz de tener en cuenta sucesos extraordinarios, como el colapso de los mercados de valores en 1929 o en 1987. Black, Scholes y Merton, con legiones de cuantificadores, han dedicados los años siguientes a refinar muchas de las ideas originales".

En la actualidad se dispone de otros modelos matemáticos para valorar las primas. Ellos son:

a) La teoría Binomial,
b)El modelo de Cox Rubenstein,
c) La versión que del modelo de Black-Scholes hicieron Garman-Kohlhagen. En opciones de moneda extranjera se usa este modelo casi exclusivamente.

Para un ligero análisis de las variables que se utilizan en los modelos de cálculo de precio de una opción vamos a transcribir parcialmente algunas páginas del didáctico "Curso sobre Derivados" publicado por Reuters. Dichas variables son las siguientes:

a) Precio de ejercicio,
b) Precio del subyacente,
c) Tiempo que falta para el vencimiento de la opción,
d) Tipo de interés,
e) Volatilidad.

Precio de Ejercicio: la diferencia entre el precio de ejercicio y el precio del activo subyacente es un factor importante para calcular el precio de una opción. Las diferencias entre estos precios determinan si una opción está at the money (con un precio de ejercicio igual o muy parecido al precio del activo subyacente), in the money (un precio de ejercicio tal que si la acción se ejerciera se obtendría un beneficio) y out of the money (situación en la que no se obtendría un beneficio inmediato). Cuanto más in the money esté una opción, mayor será su prima y, por el contrario, cuanto más out of the money esté, más barata será su prima.

Precio del Subyacente: la prima se ve afectada por los movimientos del precio del activo subyacente. En las opciones de compra -el derecho a comprar el subyacente a un precio de ejercicio fijo- a medida que sube el precio del activo subyacente, también sube su prima, y viceversa. En las opciones de venta -el derecho a vender el subyacente a un precio de ejercicio fijo- a medida que sube el precio del activo subyacente, la prima baja, y viceversa.

Tiempo que falta para el vencimiento de la opción: cuando todos los demás factores son iguales, cuanto más tiempo falte para que una opción venza, mayor es la posibilidad de que el precio del activo subyacente se mueva a favor del comprador. Cuanto mayor sea la duración de la opción, más alto será el coste de dicha opción.

Tipos de Interés: generalmente los tipos de interés tienen escasa influencia sobre las opciones y representan aproximadamente el cost of carry de un contrato de futuros (o sea, la diferencia entre el coste de financiación a tipo fijo o a tipo variable). En un contrato muy grande aumenta la importancia de este factor. Si los otros factores permanecen iguales, cuando los tipos de interés suben, bajan los costes de las primas, y viceversa. Cuando los tipos de interés bajan, las primas suben. En estas relaciones juega el coste de oportunidad.

Volatilidad: es una medida de la tasa de fluctuación de los precios de mercado del activo subyacente. La volatilidad mide los cambios de los precios y no toma en consideración ninguna dirección de los movimientos. Hay dos tipos importantes de volatilidad:

a) la volatilidad histórica,
b) la volatilidad implícita.

La volatilidad histórica: es la desviación típica anualizada de los cambios en una serie de precios históricos en un determinado período. Se utiliza para hacer una estimación de la volatilidad futura.

La volatilidad implícita: se trata del nivel de volatilidad futura que el mercado considera que es una buena estimación y que está implícito en el modelo de cálculo del precio de la opción. La volatilidad implícita es, entonces, un pronóstico de la banda proporcional, hacia arriba o hacia abajo, dentro de la que se espera que el precio del activo subyacente llegue al vencimiento. La volatilidad se expresa en porcentajes y representa la desviación típica normal o nivel de confianza del activo subyacente. El nivel correcto de confianza del pronóstico de volatilidad de una desviación típica hacia cualquiera de los dos lados de una distribución estadística normal es del 68%. Para dos desviaciones típicas es del 95%.

Un ejemplo ayudará a la comprensión: "los tipos de interés a un año del marco alemán (DM) son del 4% y se pronostica que la volatilidad a un año es del 10%. Esto quiere decir que la desviación típica es de más o menos 0,40 (3,60 a 4,40, con un nivel de confianza de 68%) y que dos desviaciones típicas es de más o menos 0,80 (3,20 a 4,80, con un nivel de confianza de 95%)".

La volatilidad implícita tiende a aumentar ligeramente para los precios de ejercicio tanto en posición in the money como out of the money cuanto más se aleje el precio de ejercicio de la posición at the money. Esta relación se conoce con el nombre de curva de la sonrisa, debido a la analogía. Los operadores utilizan la volatilidad implícita de una opción con una posición at the money muy activa con la curva de la sonrisa para calcular el precio de una opción a un precio de ejercicio diferente o a un mes contractual distinto.

Cuanto más alta sea la volatilidad de una opción, mayor será la posibilidad de que el precio del activo subyacente traspace el precio de ejercicio y se transforme en una posición in the money. A mayor volatilidad, mayor prima. Cuando menor sea la volatilidad de una opción, menor posibilidad hay de que resulte rentable ejercer el subyacente. A menor volatilidad, menor prima.

Los operadores en opciones afrontan una serie de riesgos: de crédito, de mercado, operativos y estratégicos. El de mercado es el área sobre el que una institución tiene menos control. El valor de una opción puede variar, y variará, debido a los cambios en los movimientos de precios y demás factores. Los riesgos más importantes asociados con las opciones son: los direccionales, que provienen de los movimientos de precios del activo subyacente; los temporales que produce el paso del tiempo a medida que la opción se acerca a su vencimiento y los de volatilidad que provienen de la banda de cambios de los precios subyacentes.

Hay una serie de sensibilidades que se identifican usando una letra griega, que son las siguientes:

a) Delta: asociada al riesgo de cambio de precio del instrumento subyacente. El valor equivalente es igual a la relación: cambio en la prima sobre cambio en el precio subyacente.

b) Gamma: asociada al riesgo de cambio en Delta. El valor equivalente es igual a cambio en Delta sobre cambio en el precio subyacente.

c) Vega: asociada al riesgo de cambio en la volatilidad del precio del instrumento subyacente. El valor equivalente es igual al cambio en la prima sobre cambio en la volatilidad.

d) Theta: asociada al riesgo de cambio en el tiempo que falta para el vencimiento. El valor equivalente es igual al cambio en la prima sobre el cambio en el tiempo que falta para el vencimiento.

e) Rho: asociado al riesgo de cambio en el tipo de interés para financiar el instrumento subyacente. El valor equivalente es igual al cambio en la prima sobre el cambio en el coste de la financiación.

De estas variables la más importante es Delta, dado que se usa para calcular posiciones de cobertura. Los modelos para calcular el precio de las opciones, como el de Black-Scholes, se basan en una posición de cobertura neutral.